vendredi 26 avril 2013

Panique en séries


Plus que les suites, les séries sont amusantes. La série est la somme d’une suite infinie.  
Sn = Sp=0 p=n(up).

Elle converge si Sn tend vers une limite quand n tend vers l’infini. Il est nécessaire que up tende vers 0, mais ce n’est pas suffisant.

La série, dite série harmonique, (1/n) diverge, mais Sp=1 p=n (1/n) – Log( n ) tend vers une limite, la constante d’Euler g  = 0,577…

La série alternée simple Sp=1 p=n [(-1)p/(p)] converge vers Log2.

La série alternée  Sp=1 p=n [(-1)p/(2k+1)] = 1-1/3+1/5-1/7+1/9- …. converge elle vers p/4. Ne cherchez pas à comprendre, mais si vous voulez calculer p de cette façon, il vous faudra calculer des milliers de termes pour obtenir 2 décimales exactes.

Pour savoir si une série converge, c’est en général compliqué. On peut utiliser :
-         le critère de d’Alembert : si Un+1/Un tend vers L plus petit que 1, la série converge. Mais attention, L doit être strictement plus petit que 1.
-         Le critère de Cauchy : si racine nième de un tend vers L plus petit que 1, la série converge. Même restriction que précédemment.
-         Le critère de Riemann : si up ~ A/na , alors la série converge si a est strictement plus grand que 1.

Autre série simple : S(1/n2) = p2/6 ; S(1/n4)= p4/90 . On ne connaît pas encore la valeur des sommes des séries pour les exposants impairs : vous pouvez essayer.

S(1/n!)= e le nombre d'Euler, tel que Log(e)= 1.

Bien entendu, on peut faire des séries avec des fonctions d’une inconnue.

Cos(x) = 1+ x2/2+ …+  x2n/(2n) !+…
Arcsin(x) = x+ (1.x3)/2.3)+… + (1.3.5… (2n-1)) .x2n+1/(2.4.6…2n)+…

Avec tout ça, on fait beaucoup de chose. De plus toute fonction périodique, même non dérivable, peut se mettre sous la forme f(x) = S (an cos(x/2T) + bn sin(x/2T). Merci au glorieux Fourrier pour cela !

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