jeudi 28 août 2014

Paul Adrien Maurice Dirac

Vous ne connaissez pas Paul Adrien Maurice Dirac? Dommage. C'est un anglais, fils d'un suisse charentais et d'une anglaise, né en 1902.

Un vrai génie. il obtient le prix Nobel avec Schrödinger en 1933 (à 31 ans) pour avoir mathématisé la mécanique quantique, en intégrant (par induction) les "intuitions" de Broglie, Pauli, Schrödinger, Heisenberg, et quelques autres.

La traduction de son livre, "Les principes de la Mécanique quantique", de PAM Dirac, la "bible" de la MQ,  est en accès libre dans une bibliothèque municipale d' une petite ville de province, alors que ce livre est inaccessible dans les bibliothèques municipales de Paris, et sans doute toujours sorti dans les bibliothèques universitaires.

Sa démonstration consiste en une seule algèbre, dont on peut constater qu'elle est conforme à l'expérience, ce qui n'était pas le cas avant lui : on pouvait "inventer" une loi qui marchait, mais on ne savait pas pourquoi, ou bien on pouvait faire des théories, issues de la mécanique classique, qui ne menaient à rien.

C'est très simple, dès lors qu'on accepte l'idée que la lumière agit par "quantum" : les transferts d'énergie ne peuvent pas être continus, mais obligatoirement par un saut d'énergie, de valeur hν, ν étant la fréquence  du rayonnement émis ou reçu, et h la fameuse constante de Planck.

Dans ce cas considérons l'état d'une particule quelconque, à un moment donné, à une position donnée, sous la forme d'un vecteur, qu'on appelle un "ket", et qu'on écrit |x>. Ces états s'additionnent et se multiplient par des nombres, réels ou complexes, de façon habituelle. 

On peut l'intégrer sur un paramètre, s'il en dépend : ∫ |x> dx = |Q>


Il est aussi superposable : il peut être la somme de kets indépendants ou non. Mais il ne se superpose pas à lui même : a |x> + b |x> = (a+b) |x>.

Comme on a des vecteurs, on peut toujours construire des vecteurs dans l'espace dual : ce sont des vecteurs "bra" notés tout simplement, et c'est un nombre : le bra-ket, parce que bracket veut dire "parenthèse" en anglais. Nice, isn't it?

On définit un bra lorsque son produit scalaire avec tout ket est défini. 

Ceci est simple. Mais le génie a consisté à dire qu'on peut appliquer à ces vecteurs un opérateur : multiplication, dérivation, etc, et qu'on appelle un "observable". Donc, observer une particule n'est pas VOIR son état, mais le résultat à l'issue du passage dans l'opérateur. Si l'état est |a>, on observera |F> = α |a>. 

Quelques calculs plus loin, on comprendra qu'on le résultat de l'observation ne peut être qu'un "vecteur propre" de l'opérateur, tel que α|P> = a |P>. Ces valeurs propres sont discrètes, ou continues, et donc revoila le principe quantique!

On peut alors généraliser la formule de Schrödinger, qui donne l'évolution du système dans le temps et comprendre que le carré des solutions, dite "fonction d'ondes" donne la probabilité de présence de la particule dans le coin d'espace et de temps considéré.

On démontre dans la foulée les principes d'incertitudes d'Heisenberg : si les opérateurs ne commutent pas ( [a,b] = ab-ba  0 -le fameux "crochet de Poisson"-), alors les observables associés ne peuvent être précis à la fois : Dx * Dy  h/2π. C'est le même h que la constante de Planck! C'est le cas notamment de la vitesse et de la position : si on sait où est la particule, on ne peut savoir à quelle vitesse elle va, et réciproquement. 

Conséquences entre autres :
- le photon va à la vitesse de la lumière, on ne sait donc pas où il est : c'est une "onde" qui remplit l'espace, qui explique les interférences de Young. Mais c'est aussi une particule, dont on ne sait par quel trou elle passe... Mais si son énergie est connue, hν, sa masse est nécessairement nulle.
- si une particule est interchangeable avec une autre, que se passe-t'il si on en échange 2? On a un état |a>|b>|c>....|x> qui devient par exemple |b>|a>|c>...|x>. Un ket de tous ces états peut être symétrique, ou antisymétrique pour toute permutation. Mais un état symétrique, ou antisymétrique,  doit le rester au cours du temps. 

Il y a donc des particules "symétriques" et "antisymétriques" : les antisymétriques sont des "fermions" (électrons, neutrons, protons, etc) qui ne peuvent pas  coexister dans le même état. C'est le principe d'exclusion de Pauli. En particulier, deux électrons ne peuvent se trouver sur la même orbite que parce qu'ils ont des spins différents. S'il y a plus de 2 électrons, le 3ème doit se trouver de la place sur une orbite supérieure. En changeant d'orbites, les électrons absorbent ou émettent des photons, de la lumière, le spectre, qui nous renseigne sur la composition des étoiles.

D'autres sont "symétriques" : elles peuvent s'empiler sans problème : on retrouve le "condensat de Bose-Einstein". Les photons et autres bosons en font partie. 

C'est un simple résumé. Mais pourquoi la nature est-elle si compliquée au niveau sub-atomique? Parce que autrement, il n'y aurait rien, et nous ne serions pas là pour la contempler : c'est le principe anthropique faible. Le principe anthropique fort va plus loin : c'est pour qu'on puisse l'observer que le monde est ainsi fait. En 7 jours. Avec des fermions et des bosons...

A noter qu'on ne s'aperçoit de rien à notre échelle macroscopique : la constante de Planck est très petite à notre échelle.

La Nature est un temple où de vivants piliers
Laissent parfois sortir de confuses paroles;
L'homme y passe à travers des forêts de symboles
Qui l'observent avec des regards familiers.

Aucun commentaire: