samedi 2 juillet 2016

la mécanique quantique des champs

Je suppose que comme moi, vous en avez assez de la pluie, du foot et de ses fanzones, du tournant sécuritaire, absurde et contre-productif  de notre caudilliño national, du Tour de France et autres calamités françaises, anglaises et mondiales.

Aussi, je voudrais vous parler de la théorie quantique des champs. Curieusement, on trouve une pile de littérature et de MOOC sur la mécanique quantique, l'équation de Schrödinger et les relations d'incertitude de Heisenberg. Mais pas grand chose sur la mécanique quantique des champs, qui pourtant a été mise au point par Dirac, un génie pseudo-schizophrène, dans les années 30, puis par Feynman vers 1940, un autre génie, mais du genre très rigolo.

Une explication, peut-être, est que l'approche en est très matheuse, et pourrait apparaître comme rebutante. Cependant, une fois qu'on a compris la définition des opérateurs hermitiens, dont l'inverse est égal à la transposée de leur conjugué, ça devient assez simple. Et on peut enfin traiter le problème des particules dans le cadre de la relativité.

L'erreur serait de considérer que des particules se choquent comme des billes de billard, en un point donné, à un moment donné. En réalité, il y a de l'indéterminisme quantique, un espèce de brouillard où on peut voir ce qui y entre, ce qui en sort, mais pas de savoir ce qui se passe dedans.

Une première idée consiste à partir de l'équation de l'énergie d'Einstein E²= p²+m² (dans un système d'unités où c=1), et d'y appliquer le formalisme de Schrödinger : on aboutit à l'équation de Klein-Gordon :(\square +m^2)\psi(t,x)=0
avec deux conséquences : le résultat ne peut concerner que des particules de spin nul : les pions, le boson de Higgs, et c'est à peu près tout. D'autre part, le calcul introduit naturellement des particules d'énergie négative [puisque (-E)²=E], et la découverte a été de dire qu'il s'agissait d'antiparticules et non de solutions parasites.

Le calcul des probabilité se fait en évaluant l'amplitude de transition entre les entrants et les sortants, qui apparaît comme un quadrivecteur-courant.

Une deuxième idée de Dirac a été de chercher la fonction d'onde comme un spineur à 4 composantes complexes, et de partir de l'équation de Schrödinger dans lequel le hamiltonien serait de la forme  a.p+bm    , a et  étant des matrices 4x4 hermitiennes assez subtiles, dites matrices de Dirac, et p l'opérateur -i nabla. Comme cela, on comprend le spin des particules, et on explique très bien le spectre de l'hydrogène.


Tout ceci conduit à des calculs compliqués, mais Feynman 10 ans après, s'est demandé pourquoi les particules prenaient tel chemin plutôt qu'un autre dans le "brouillard" de l'interaction. Et il a retrouvé le principe de Fermat, défini au  XVIIème siècle pour la lumière : le bon chemin est le plus court, autrement dit l'intégrale de son action est stationnaire (toute petite modification autour du bon chemin est forcément plus coûteuse). Et Feynman a inventé ses fameux diagrammes 
Ici une particule interfère avec un potentiel électromagnétique : on a les 3 points d'entrée et de sortie, et on peut appliquer les relations de conservation, de l'impulsion, de la charge, et calculer l'amplitude de transition. Le point de "rencontre s'appelle le "vertex".

Les champs ne sont plus des champs, ce sont des particules : le photon pour la force électromagnétique, le graviton (pas encore trouvé) pour la gravité, les gluons pour l'interaction forte et les bosons lourds Z et W pour l'interaction faible.

Il peut y avoir création de paires, si l'énergie est suffisante. Et, à cause des fluctuations quantiques, ça peut arriver dans le vide ; le vide n'est pas "vide", il n'est pas "rien". Comme dit Etienne Klein : "Je : Néant Vide Rien".

Voila, c'est tout pour aujourd'hui.

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