Nombres

L'arithmétique, comme la Terre, ne trompe pas. Entrer dans le mystère des nombres est bien plus passionnant qu'un discours de Mme Boutin ou qu'une photo de Carla.

La théorie des ensembles a été perdue de réputation quand des pédagogues imbéciles ont voulu en faire l'alpha et l'oméga de l'enseignement des maths, dégoûtant ainsi des générations. Et pourtant!

Prenez toutes les collections d'objets que vous pouvez imaginer : les lapins de M McGregor, les pièces qui sont dans ma poche, les fourmis sur mon mur. Je les définis par le fait qu'elles ont une propriété commune.

Maintenant, je peux faire une relation d'équivalence, en les pointant un à un chaque élément de ces ensembles. Il y en a des ensembles qui sont "plus grands" que d'autres, parce qu'il me reste des éléments non appariés. D'autres sont "égaux par cette relation" : j'appelle cardinal le nombre de ces éléments, que ce soit les lapins ou les pièces.

Par définition, je nomme 0 ("zéro") le cardinal de l'ensemble vide, 1 ("un") celui de l'ensemble qui n'est pas vide et le plus petit de ceux qui ne sont pas vides. Etc.

Tous ces nombres constituent l'ensemble N des entiers dit "naturels". C'est assez facile de doter cette structure d'une addition (élément neutre : 0) et d'une multiplication (élément neutre : 1).

Rien qu'avec ça je peux en faire des tonnes : les nombres pairs, les nombres égaux "modulo n", les nombres "parfaits", "amiables, mais surtout les nombres premiers (depuis Eratosthène et son crible).

Cependant, je ne peux pas toujours faire de soustraction, c'est à dire résoudre l'équation a+X=b, quand b est plus petit que a. Pour cela, je définis le nombre X même quand b est plus petit que a, et je crée ainsi les nombres entiers relatifs (ensemble Z). Facile...

Mais pour la division? Y a-t-il parfois une solution à l'équation a.X = b ? (a et b appartiennent à Z). Il faut déjà que b soit différent de 0. Supposons-le. Alors je peux définir un nombre b/a, dit "nombre rationnel", ou plus exactement l'ensemble quotient des nombres a/b et c/d tels que a.d=b.c . Bien sur 1/2=2/4=500/1000 etc. On l'appelle Q.

Est-ce que j'ai tous mes nombres? Ben non, car je ne sais toujours pas résoudre l'équation x²=2. Nous voila bien. Euclide avait déjà trouvé que la solution ne pouvait pas être de la forme p/q. Comment? Facile : supposez que ce soit vrai. L'un des 2 nombres est forcément pair, et l'autre impair, sinon p/q se simplifierait. Supposons que p=2.t et q=2.s+1. Alors on aurait 2t²=q²=4s²+4s+1, ce qui est impossible, puisque 1 n'est pas divisible par 2 sur Z. CQFD.

Ces nombres, je les appelle algébriques, puisque solutions d'équations algébriques. Suis-je au bout de mes peines? Non, car il existe d'autres nombres, limites de suites ou sommes de séries, qui ne sont pas algébriques. Par exemple e (= limite quand n tend vers l'infini de 1/(n!) , Pi = limite de 4 fois la somme 1-1/3+1/5-1/7+1/9....), log(2) ne sont pas des nombres algébriques. Ils sont transcendants. J'adore la transcendance. Les nombres algébriques et transcendants forment les nombres réels (ensemble R)

Les ensembles N, Z, Q, R sont emboîtés les uns dans les autres. Mais R est "complet" : il n'y a pas de "trous" pour les distances, je ne peux pas trouver un "voisinage" d'un nombre réel dans lequel il n'y a pas un autre nombre réel.

Les nombres complexes? Un nom compliqué pour quelques chose de simple : un simple couple de nombres réels x et y, pour lesquels je définis une addition (évident), et une multiplication : (a,b).(x,y) =(a.x-b.y , b.x+a.y). On appelle i le couple (0, 1), et vous pouvez vérifier que i²=(-1,0).

Merci à M Georg Cantor, en particulier.