Suites en tous genres

Comme on vous l'a répété, après ce très long débat sur le non-débat, il est temps de passer à autre chose. Et j'ai de la suite dans les idées.

Une suite de termes est définie par une application de N (nombres entiers) dans R (nombres réels) ou C (nombres complexes), qui à chaque n définit un nombre u_n, défini par une fonction  f(u_{n-1) (}et éventuellement  de  u_{n-2 ).}

Cette suite peut converger vers une limite L, ou pas. Pour qu’elle converge, il est nécessaire, mais non suffisant, que |u_n-u_n-1| tende vers 0 quand n tend vers l’infini. Alors L=f(L)

Quelques exemples simples pour expliquer tout cela.

-         u_n = a + n * b : suite de nombres, qui tendent vers +/- l’infini, selon le signe de b

-         u_n  = a* rⁿ    : suite géométrique, de raison r, qui converge  si et seulement si r<=1

-         u_n  = (-1) ⁿ  = 1 ou -1 : elle ne converge pas.

Mais on peut trouver des suites plus amusantes :

Par exemple, fixons u₀ et u₁, et ensuite u_n= u_n-1 + u_n-2 : c’est la suite de Fibonacci. Soit 1,1,2,3, 5, 8, 13, 21, etc. Elle ne converge pas, mais elle a de curieuses propriétés. Par exemple le rapport de 2 nombres consécutifs tend vers le nombre d’Or (1+ 5^1/2) /2 = 1,6180344…

Mais il y a encore plus amusant : la suite de Conway ! 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211… Vous comprenez comment elle est fabriquée ? C’est facile, il suffit de lire le terme précèdent : 1, puis lisez : 1 un, puis 2 un, puis 1 deux, 2 un, 1 un, etc…

On peut faire plus utile : prenez U₀ =1, et u_n = (u_n-1+a/u_n-1)/2 . C’est une façon très simple de calculer la racine de a. Essayons avec a=2 : u₁ = 3/2 = 1.5 ; u₂ = 17/12 = 1.4166666… ; u₃ = 577/408 = 1.414215686 ; u₄ = 665857/470832 = 1 .4142135627451… Vous voyez qu’on obtient vite les bonnes décimales, et plus vite qu’avec la méthode élémentaire d’extraction de racine, que bien sûr vous avez oubliée.

Un autre jeu consiste à trouver la formule qui correspond à une suite donnée.

Si je vous donne : 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17,… saurez-vous reconnaître la suite des nombres premiers ? En général c’est difficile, mais un matheux génial canadien, M Simon Plouffe, a fait une base de données de presque toutes les suites possibles : vous donnez vos chiffres, et il propose des formules. C’est là.

Amusez-vous bien.