Équations différentielles ordinaires EDO

Vous avez bien raté le MOOC de Cédric Villani et Diaraf Seck sur les équa diff!

Le mot "ordinaire" les distingue des EDP : équations aux dérivées partielles. Les EDO décrivent l'évolution dans le temps d'un certain nombre de paramètres, par exemple la trajectoire d'une balle de tennis ou celle de la lune, la diffusion de la chaleur dans une tringle, l'écoulement d'un liquide (par exemple l'air autour d'un avion). La nature est un temple où de vivants piliers sont régis par des équations différentielles.

Il ne faut pas s'inquiéter de l'ordre d'une EDO, son "degré", puisqu'elles peuvent toutes se ramener au premier ordre. En effet, la simple loi de Galilée , x'' = 0, peut se ramener au système x' = z et z' = 0. Evidemment, on gagne en dimension ce qu'on a perdu en ordre.

Elles sont plus ou moins simple à résoudre. Il y a une méthode générale quand l'EDO est linéaire : cas classique du circuit électrique RLC, X' = AX, A matrice n x n. Le résultat est un mélange de sinus et de cosinus (caractéristiques des oscillations), et d'exponentielle (amortissement ou amplification).

Mais dans le cas général, sauf astuce particulière, on ne sait pas comment s'y prendre, et même parfois, on ne sait pas résoudre explicitement les solutions, le cas le plus connu étant celui du problème des 3 corps, de type Terre-Lune-Soleil, où on ne sait faire que des approximations : il faut bien avouer qu'avec les ordinateurs, c'est plus commode qu'à la main, et c'est pourtant ce qu'a fait M le Verrier pour "inventer" Neptune à partir des perturbations d'Uranus.

Alors, on a deux pistes : l'étude globale, ou l'étude locale, et selon qu'on a un problème lagrangien (on le minimise entre le point de départ ou le point d'arrivée), ou un problème de Cauchy (on connait la position et la vitesse initiale, et on cherche à deviner ce qui se passe ensuite).

Imaginez qu'on trouve une loi de conservation, c'est-à-dire une fonction qui reste constante au cours du temps : bingo! Avec les équations de Newton, même avec beaucoup de corps, il est facile de montrer que l'énergie totale, somme des énergies cinétiques et des énergies potentielles, est constante. De même, le centre de gravité du système a un simple mouvement galiléen X = A (t-t0) + X0  . de même le moment global est conservé. Ça limite bien les capacités du système!

Variante : on peut avoir une fonction de Lyapunov : on a une fonction qui décroit constamment. Par exemple, une bille finit toujours au fond du bol, à cause des forces de frottement qui font décroître l'énergie, quels que soient les oscillations qu'elle aura faite après son lancement.

Par l'étude locale, on cherche ce qui se passe tout près du point de départ, ou près d'un équilibre s'il y en a. Alors on peut essayer de linéariser le système sur son espace tangent, en calculant son jacobien. Il sera peut-être alors possible de voir jusqu'où notre solution reste valable.

Je pourrais vous parler encore du flot, des attracteurs étranges, des cycles, du système proie-prédateur (évolution dans le temps du nombre de renards et de lapins : plus il y a de lapins, plus il y a de loups, plus il y a de loups, moins il y a de lapins, etc), des hamiltoniens. De Henri Poincaré surtout, pour son invention de l'espace des phases, et sa découverte du chaos dans le problème des 3 corps. Mais vous trouverez tout cela dans Wikipedia.